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羅德里格旋轉公式（軸角法）

#数学#图形学308
AI 翻譯
這篇文章透過AI由英文翻譯成繁體中文。查看原文
AI 生成的摘要
本文介紹了向量的點積和叉積的基本知識，並解釋了羅德里格旋轉公式的推導過程。點積表示向量在另一向量上的投影，叉積在三維空間中有幾何意義。文章基於右手系分析，並提供了相關參考資料。

前言#

閱讀本文需要一些前置知識，需理解向量點積與叉積的基本知識。以下給出大致定義（因為矩陣在這裡用不到，就不寫矩陣形式了）以幫助理解

  • 向量點積
    • v⃗⋅j⃗=∣∣v⃗∣∣∣∣j⃗∣∣cos⁡θ\vec {v} \cdot \vec {j} = ||\vec {v}|| ||\vec {j}|| \cos \theta
    • 幾何解釋為 向量 v 在 向量 j 上投影的模長乘以向量 j 的模長
  • 向量叉積
    • v⃗×j⃗=∣∣v⃗∣∣∣∣j⃗∣∣sin⁡θ\vec {v} \times \vec {j} = ||\vec {v}|| ||\vec {j}|| \sin \theta
    • 叉積只有在三維下才有幾何意義，其解釋為同時與向量 v 與向量 j 垂直的向量，且該向量模長為向量 v 與向量 j 構成的平行四邊形的面積

另外需要注意的是，本文基於右手系分析，旋轉方向正負可由右手定則判斷。

右手系 右手定則

羅德里格旋轉公式#

已知旋轉軸 f⃗\vec{f} ，此時有向量 v⃗\vec{v} 繞旋轉軸旋轉 θ\theta 角，求旋轉後的 v′⃗\vec {v^{\prime}}。如下圖

IMG_ECC68942A572-1

因為旋轉軸的長度並不影響旋轉，為了方便求解，定義 ∣∣f⃗∣∣=1||\vec {f}|| = 1。此時分解 v⃗\vec {v} 至平面（ v∥⃗\vec {v_\parallel} ）與旋轉軸（ v⊥⃗\vec {v_\perp} ）上。如下圖

IMG_D190DB86E9D2-1

由於 v∥⃗\vec{v_\parallel} 可視為 v⃗\vec{v} 在 f⃗\vec{f} 上的投影，顯然可以使用點積來表示

即 v∥⃗=v⃗⋅f⃗∣∣f⃗∣∣f⃗∣∣f⃗∣∣\vec {v_\parallel} = \frac{\vec {v} \cdot \vec {f}}{||\vec {f}||} \frac {\vec {f}}{||\vec {f}||}

這裡解釋一下為什麼這麼寫，上面對於點積的介紹已經很明確了即點積的結果表示為向量 v 在 向量 f 上投影的模長乘以向量 f 的模長，也就是說我們如果需要單獨獲得 ∣∣v∥⃗∣∣|| \vec {v_\parallel} || 時需要將結果除以 ∣∣f⃗∣∣||\vec {f}|| ，而此時我們得到的是一個值而非向量，且 v∥⃗∥f⃗\vec {v_\parallel} \parallel \vec {f} 也就是兩者同向，於是我們可通過將值乘以 f⃗\vec {f} 的方向即可得到 v∥⃗\vec {v_\parallel}。而又因為 ∣∣f⃗∣∣||\vec {f}|| 為 1，則可化簡為

v∥⃗=(v⃗⋅f⃗)f⃗\vec {v_\parallel} = (\vec {v} \cdot \vec {f})\vec {f}

此時也可以得到 v⊥⃗\vec {v_\perp}

v⊥⃗=v⃗−v∥⃗=v⃗−(v⃗⋅f⃗)f⃗\vec {v_\perp} = \vec {v} - \vec {v_\parallel} = \vec {v} - (\vec {v} \cdot \vec {f})\vec {f}

目前已經得到的結果

{v∥⃗=(v⃗⋅f⃗)f⃗v⊥⃗=v⃗−(v⃗⋅f⃗)f⃗\begin{cases} \vec {v_\parallel} = (\vec {v} \cdot \vec {f})\vec {f} \\ \vec {v_\perp} = \vec {v} - (\vec {v} \cdot \vec {f})\vec {f} \end{cases}

現在我們對 v′⃗\vec {v^{\prime}} 進行分解，可發現 v∥⃗=v∥′⃗\vec {v_\parallel} = \vec {v^{\prime}_\parallel} ，唯一的不同在平面上的分解。

IMG_8ADF34270E8C-1

此時我們引入輔助向量 w⃗\vec {w} 該向量垂直於 v⊥⃗\vec {v_\perp}

∵{w⃗⊥f⃗w⃗⊥v⊥⃗∣∣f⃗∣∣=1∣∣w⃗∣∣=∣∣v⊥⃗∣∣\because \begin{cases} \vec {w} \perp \vec {f} \\ \vec {w} \perp \vec {v_\perp} \\ || \vec {f} || = 1 \\ || \vec {w} || = || \vec {v_\perp} || \\ \end{cases}
∴w⃗=f⃗×v⊥⃗\therefore \vec {w} = \vec {f} \times \vec {v_\perp}

因為我們最終的目標是通過 v⊥′⃗\vec {v^{\prime}_\perp} 求解 v′⃗\vec {v^{\prime}} ，那麼接下來需要分解 v⊥′⃗\vec {v^{\prime}_\perp} 為 v1⃗\vec {v_1} 與 v2⃗\vec {v_2} ，通過已知的 w⃗\vec {w} 與 v⊥⃗\vec {v_\perp} 來表達（求解思路和上面的 v 平行是相同的）

v1⃗=v⊥′⃗⋅w⃗∣∣w⃗∣∣w⃗∣∣w⃗∣∣=∣∣v⊥′⃗∣∣∣∣w⃗∣∣cos⁡(90°−θ)∣∣w⃗∣∣w⃗∣∣w⃗∣∣=w⃗sin⁡θ\vec {v_1} = \frac {\vec {v^{\prime}_\perp} \cdot \vec {w}}{||\vec {w}||} \frac {\vec {w}}{||\vec {w}||} = \frac {||\vec {v^{\prime}_\perp}|| || \vec {w} || \cos(90° - \theta)}{|| \vec {w} ||} \frac {\vec {w}}{||\vec {w}||} = \vec {w} \sin\theta

v2⃗=v⊥′⃗⋅v⊥⃗∣∣v⊥⃗∣∣v⊥⃗∣∣v⊥⃗∣∣=∣∣v⊥′⃗∣∣∣∣v⊥⃗∣∣cos⁡(θ)∣∣v⊥⃗∣∣v⊥⃗∣∣v⊥⃗∣∣=v⊥⃗cos⁡θ\vec {v_2} = \frac {\vec {v^{\prime}_\perp} \cdot \vec {v_\perp}}{||\vec {v_\perp}||} \frac {\vec {v_\perp}}{||\vec {v_\perp}||} = \frac {||\vec {v^{\prime}_\perp}|| || \vec {v_\perp} || \cos(\theta)}{|| \vec {v_\perp} ||} \frac {\vec {v_\perp}}{||\vec {v_\perp}||} = \vec {v_\perp} \cos\theta

v⊥′⃗=v1⃗+v2⃗=w⃗sin⁡θ+v⊥⃗cos⁡θ\vec {v^{\prime}_\perp} = \vec {v_1} + \vec {v_2} = \vec {w} \sin\theta + \vec {v_\perp} \cos\theta

∵w⃗=f⃗×v⊥⃗\because \vec {w} = \vec {f} \times \vec {v_\perp}

∴v⊥′⃗=v⊥⃗cos⁡θ+(f⃗×v⊥⃗)sin⁡θ\therefore \vec {v^{\prime}_\perp} = \vec {v_\perp} \cos\theta + (\vec {f} \times \vec {v_\perp}) \sin \theta

v′⃗=v⊥′⃗+v∥′⃗=v⊥⃗cos⁡θ+(f⃗×(v⃗−v∥⃗))sin⁡θ+v∥⃗\vec {v^{\prime}} = \vec {v^{\prime}_\perp} + \vec {v^{\prime}_\parallel} = \vec {v_\perp} \cos\theta + (\vec {f} \times (\vec {v} - \vec {v_\parallel})) \sin \theta + \vec {v_\parallel}

∵f⃗∥v∥⃗∴f⃗×v∥⃗=0\because \vec {f} \parallel \vec {v_\parallel} \therefore \vec {f} \times \vec {v_\parallel} = 0

v′⃗=v∥⃗+cos⁡θv⊥⃗+(f⃗×v⃗)sin⁡θ\vec {v^{\prime}} = \vec {v_\parallel} + \cos \theta \vec {v_\perp} + (\vec {f} \times \vec {v}) \sin \theta

∵{v∥⃗=(v⃗⋅f⃗)f⃗v⊥⃗=v⃗−(v⃗⋅f⃗)f⃗\because \begin{cases} \vec {v_\parallel} = (\vec {v} \cdot \vec {f})\vec {f} \\ \vec {v_\perp} = \vec {v} - (\vec {v} \cdot \vec {f})\vec {f} \end{cases}

∴v′⃗=(1−cos⁡θ)(f⃗⋅v⃗)f⃗+cos⁡θv⃗+sin⁡θ(f⃗×v⃗) \therefore \vec {v^{\prime}} = (1 - \cos \theta)(\vec {f} \cdot \vec {v}) \vec {f} + \cos \theta \vec {v} + \sin \theta (\vec {f} \times \vec {v})

求證結束，此時我們得到了軸角式的旋轉公式。

參考資料#

《動手學機器人學》（5）（一般形式旋轉矩陣公式）或（羅德里格旋轉公式）或（軸角法）證明 and 齊次坐標變換

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