齊次坐標與二維圖形基本幾何變換的矩陣推導

齊次坐標#

“齊次坐標表示是計算機圖形學的重要手段之一，它既能夠用來明確區分向量和點，同時也更易於進行仿射（線性）幾何變換。”—— F.S. Hill, JR。

正如引用中所說，齊次坐標最大的特點在於它的存在可以區分描述坐標與向量

簡單的說，在普通的直角坐標系（或者說笛卡爾坐標系也行）中，(x_A, y_A) 可以表示點 A，也可以用來表示向量 $\vec{oA}$ 。這種含糊不清的表述方式並不利於準確的抽象描述給計算機。

而齊次坐標通過將 n 維提升到 n+1 維從而解決了這個問題。

我們可以在一個 2D 笛卡爾坐標末尾加上一個額外的變量 w 來形成 2D 齊次坐標，因此，一個點 (X,Y) 在齊次坐標裡面變成了（x,y,w），並且有

X = x/w

Y = y/w

如在齊次坐標中

描述一個點 A，其表示為 (x_A, y_A, 1)
描述一個向量 $\vec {oA}$，其表示為 (x_A, y_A, 0)

試著將 w=1，0 帶入 x/w，便可以理解為何 1 表示點（位置）、0 表示向量（方向）了。

除此之外也方便進行向量加法之類的操作

當然除了描述向量與點外，齊次坐標的引入也方便描述幾何變換 (線性變換)。

比如如果不用齊次坐標表示的二維平移是下圖這樣的

二維圖形基本幾何變換#

二維圖形變換大致分為以下五類 —— 平移（Translate）、縮放（Scale）、旋轉（Rotate）、反射（Reflect）和錯切（shear）

1. 平移#

描述從點 (x, y) 到 (x + dx, y+ dy)

引入齊次坐標，可表述為 (x, y, 1) 變形推導為 (x + dx, y+ dy, 1)

此時線性變換便可作為工具描述變換過程了，引入變換矩陣後，該問題就變成了求解變換矩陣

已知:

\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + dx \\ y+ dy \\ 1 \end{pmatrix}

得

\begin{cases} ax + by + c = x + dx \\ dx + ey + f = y + dy \\ gx + hy + i = 1 \end{cases}

解得變換矩陣為

\begin{pmatrix} 1 & 0 & dx \\ 0 & 1 & dy \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

於是在數學層面我們就可以用這個變換矩陣來描述平移過程了。

2. 縮放#

描述從點 (x, y) 到 (sx*x, sy*y)，sx 與 sy 為常量。

引入齊次坐標，可表述為 (x, y, 1) 變形推導為 (sx*x, sy*y, 1)

引入變換矩陣

已知:

\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} sx * x \\ sy * y \\ 1 \end{pmatrix}

得

\begin{cases} ax + by + c = sx * x \\ dx + ey + f = sy * y \\ gx + hy + i = 1 \end{cases}

解得變換矩陣為

\begin{pmatrix} sx & 0 & 0 \\ 0 & sy & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

3. 旋轉#

解釋旋轉需要引入單位圓。

如圖，點 B 旋轉至點 C 處，AB 與 X 軸的夾角為 α，AC 與 AB 夾角為 β

則 B 點坐標可表示為 (cosα, sinα)，C 點坐標為 (cos (α + β), sin (α + β))

將 C 點坐標展開，則 C 點為 (cosα cosβ - sinα sinβ, sinα cosβ + cosα sinβ)

記 B 點坐標為 (x, y)，C 點坐標則為 (x cosβ - y sinβ, y cosβ + x sinβ)

引入齊次坐標，可表述為 (x, y, 1) 變形推導為 (x cosβ - y sinβ, y cosβ + x sinβ, 1)

引入變換矩陣

已知:

\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} xcosβ - ysinβ \\ ycosβ + xsinβ \\ 1 \end{pmatrix}

得

\begin{cases} ax + by + c = xcosβ - ysinβ \\ dx + ey + f = ycosβ + xsinβ \\ gx + hy + i = 1 \end{cases}

解得變換矩陣為

\begin{pmatrix} cosβ & -sinβ & 0 \\ sinβ & cosβ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

4. 反射#

在數學中，反射是把一個物體變換成它的鏡像的映射。要反射一個平面圖形，需要 “鏡子” 是一條直線（反射軸），對於三維空間中的反射就要使用平面作為鏡子。

如果根據引用，那麼反射可分為根據 X 軸反射與根據 Y 軸反射，但實際上也存在中心反射（點反射）這一概念

根據 X 軸反射#

描述點 (x, y) 到點 (x, -y)

已知:

\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ -y \\ 1 \end{pmatrix}

得:

\begin{cases} ax + by + c = x \\ dx + ey + f = -y \\ gx + hy + i = 1 \end{cases}

解得變換矩陣:

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

根據 Y 軸反射#

描述點 (x, y) 到點 (-x, y)

已知:

\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x \\ y \\ 1 \end{pmatrix}

得:

\begin{cases} ax + by + c = -x \\ dx + ey + f = y \\ gx + hy + i = 1 \end{cases}

解得變換矩陣:

\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

根據點 (p, q) 反射#

描述點 (x, y) 到點 (2p-x, 2q-y)

已知:

\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2p-x \\ 2q-y \\ 1 \end{pmatrix}

得:

\begin{cases} ax + by + c = 2p-x \\ dx + ey + f = 2q-y \\ gx + hy + i = 1 \end{cases}

解得變換矩陣:

\begin{pmatrix} -1 & 0 & 2p \\ 0 & -1 & 2q \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

5. 錯切#

定義見圖，其實就像是圖形在某一方向上的扭曲，底下只貼推導過程。需注意的是 α 與 β 範圍為 [0, 90°)

y 軸為依賴軸的錯切變換#

描述點 (x, y) 到點 (x + y.tanα, y)

已知:

\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+y.tanα \\ y \\ 1 \end{pmatrix}

得:

\begin{cases} ax + by + c = x+y.tanα \\ dx + ey + f = y \\ gx + hy + i = 1 \end{cases}

解得變換矩陣:

\begin{pmatrix} 1 & tanα & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

x 軸為依賴軸的錯切變換#

描述點 (x, y) 到點 (x, y + x.tanβ)

已知:

\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y + x.tanβ \\ 1 \end{pmatrix}

得:

\begin{cases} ax + by + c = x \\ dx + ey + f = y + x.tanβ \\ gx + hy + i = 1 \end{cases}

解得變換矩陣:

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ tanβ & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}