三維圖形基本幾何變換的矩陣推導

前言#

此文是齊次座標與二維圖形基本幾何變換的矩陣推導的衍生。理解二維的變換就能輕鬆推導三維的。

三維圖形基本幾何變換#

平移#

描述從點 (x, y, z) 到 (x + dx, y+ dy, z + dz)

引入齊次座標，可表述為 (x, y, z, 1) 變形推導為 (x + dx, y+ dy, z + dz, 1)

已知:

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + d_x \\ y+ d_y \\ z + d_z \\ 1 \end{pmatrix}

得

\begin{cases} a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z + a_{14} = x + d_x \\ a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z + a_{24} = y+ d_y \\ a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z + a_{34} = z + d_z \\ a_{41}x + a_{42}y + a_{43}z + a_{44} = 1 \\ \end{cases}

解得

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & dx \\ 0 & 1 & 0 & dy \\ 0 & 0 & 1 & dz \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

縮放#

描述從點 (x, y, z) 到 (sx*x, sy*y, sz*z)，sx sy sz 為常量。

引入齊次座標，可表述為 (x, y, z, 1) 變形推導為 (sx*x, sy*y, sz*z, 1)

已知:

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s_x * x \\ s_y * y \\ s_z * z \\ 1 \end{pmatrix}

得

\begin{cases} a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z + a_{14} = s_x * x \\ a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z + a_{24} = s_y * y \\ a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z + a_{34} = s_z * z \\ a_{41}x + a_{42}y + a_{43}z + a_{44} = 1 \\ \end{cases}

解得

\begin{pmatrix} s_x & 0 & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

旋轉#

對於三維的旋轉可以分解為三個矩陣（繞 x 軸旋轉、繞 y 軸旋轉、繞 z 軸旋轉）的乘積

繞 z 軸旋轉 —— R_z(β)#

還記得我們對二維旋轉的推導嗎？我們在 x, y 軸構成的平面上進行旋轉時其實也可以視為是在繞著 z 軸的旋轉。那麼其三維的旋轉其實就很好理解了，無非就是增加一個固定不變的維度罷了。

即：

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} xcosβ - ysinβ \\ ycosβ + xsinβ \\ z \\ 1 \end{pmatrix}

得：

\begin{cases} a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z + a_{14} = xcosβ - ysinβ \\ a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z + a_{24} = ycosβ + xsinβ \\ a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z + a_{34} = z \\ a_{41}x + a_{42}y + a_{43}z + a_{44} = 1 \\ \end{cases}

解：

R_{z}β = \begin{pmatrix} cosβ & -sinβ & 0 & 0 \\ sinβ & cosβ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

繞 x 軸旋轉 —— R_x(α)#

同理可得（固定 x）

R_{x}α = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & cosα & -sinα & 0 \\ 0 & sinα & cosα & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

繞 y 軸旋轉 —— R_y(γ)#

同理可得（固定 y）

R_{y}γ = \begin{pmatrix} cosγ & 0 & sinγ & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -sinγ & 0 & cosγ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

於是我們得到了三維的旋轉矩陣

R = R_{x}αR_{y}γR_{z}β

但是看到這一定會產生這樣的疑問 —— 我該如何將繞某個軸的 θ 角分解為 α β γ 呢？這個疑問先留著，我好再水一篇文章。

只不過目前旋轉的軸都被限制在過原點這一前提下，如果旋轉軸並不過原點的話，得先把軸平移到過原點，隨後再旋轉，旋轉結束後再平移到原來的位置。任何複雜的變換都可以分解為數個簡單變換的合成。

錯切#

沿著 X 軸切變#

即描述從 (x, y, z) 到 (x + my + nz, y, z), m,n 均為正切函數

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + m*y + n*z \\ y \\ z \\ 1 \end{pmatrix}

解得

\begin{pmatrix} 1 & m & n & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}

沿著 Y 軸切變#

描述點 (x, y, z) 到點 (x, y + mx + nz, z)

求解就跳過了，相信聰明的大家一定看出來了行列項代表的意思了

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ m & 1 & n & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}

沿著 Z 軸切變#

描述點 (x, y, z) 到點 (x, y, z + mx + ny)

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ m & n & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}